Question

19．已知函數(shù)f（x）=ln（x+a），其中a＞0，若方程f（x）=x有唯一解．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若k≤-$\frac{1}{2}$，f₁（x）=f（x）-x，證明：對任意的x∈[0，+∞），f₁（x）≥kx²恒成立．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=x有唯一解轉(zhuǎn)化為g（x）=ln（x+a）-x，其中a＞0，x＞-a，有唯一的零點(diǎn)，即得出g（x）_最大值=0即可求解a的值．
（2）由題意任意的x∈[0，+∞），有f₁（x）≥kx²成立，可以令k（x）=f₁（x）-kx²，求出gkx）的最小值大于0即可，可以利用導(dǎo)數(shù)研究k（x）的最值

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ln（x+a），其中a＞0，
∴令g（x）=ln（x+a）-x，其中a＞0，x＞-a，
∵方程f（x）=x有唯一解．
∴g（x）有唯一的零點(diǎn)，
∵g′（x）=$\frac{1-a-x}{x+a}$，
∴根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得出：（-a，1-a）單調(diào)遞增，（1-a，+∞）單調(diào)遞減，
∴x=1-a時，g（x）_最大值=g（1-a）=a-1，
∵g（x）有唯一的零點(diǎn)，
∴只需a-1=0即可，a=1，
（2）f₁（x）=f（x）-x，
令k（x）=ln（x+1）-x-kx²，
k（x）=ln（x+1）-x-kx²，x∈（-1，+∞），
求導(dǎo)函數(shù)可得g′（x）=$\frac{1}{x+1}$-1-2kx=$\frac{-x[2kx+（2k+1）]}{x+1}$，
令k′（x）=0，可得x₁=0，x₂=-$\frac{2k+1}{2k}$，
∵當(dāng)k≤-$\frac{1}{2}$時，x₂≤0，k′（x）＞0，在（0，+∞）上恒成立，k（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴k（x）≥k（0）=0，
∴對任意的x∈[0，+∞），有f₁（x）≥kx²成立；

點(diǎn)評 此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題及函數(shù)的恒成立問題，第二問構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為k（x）的最小值大于等于0即可，這種轉(zhuǎn)化的思想在高考中經(jīng)常會體現(xiàn)，要認(rèn)真體會，屬難題