Question

11．如圖，BD是四邊形ABCD的外接圓⊙O的直徑，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，已知∠ABD=∠CBD=60°，PA=BD=2．
（1）求證：CE∥平面PAB；
（2）求平面PCE與平面BCD所成銳角二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）證明：OE∥平面PAB，OC∥平面PAB，可得平面OCE∥平面PAB，即可證明CE∥平面PAB；
（2）利用三角形的面積比，即可求平面PCE與平面BCD所成銳角二面角的余弦值．

解答 （1）證明：因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，O為BD的中點(diǎn)，
所以O(shè)E∥PB，
因?yàn)镺E?平面PAB，PB?平面PAB，
所以O(shè)E∥平面PAB
因?yàn)椤螦BD=∠CBD=60°，
所以∠ABD=∠COB=60°，
所以AB∥OC，
因?yàn)镺C?平面PAB，AB?平面PAB，
所以O(shè)C∥平面PAB，
因?yàn)镺C∩OE=O，
所以平面OCE∥平面PAB
因?yàn)镃E?平面OCE，
所以CE∥平面PAB；
（2）解：由題意，AB=1，PA=2，所以PB=$\sqrt{3}$，所以O(shè)E=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，PC=2，PE=CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
所以${S}_{△PCE}=\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因?yàn)镾_△BOC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
所以平面PCE與平面BCD所成銳角二面角的余弦值為$\frac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是中檔題，考查棱錐中直線與平面的位置關(guān)系，二面角的求法，考查空間想象能力，計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．