Question

已知函數(shù)f（x）=

-2x+1

2x+1+a

（a∈R，a＞0）．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，求出函數(shù)的解析式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)f（x）的值域．

解答： 解：（1）由f（-x）=f（x）得

-2-x+1

2-x+1+a

=

-2x+1

2x+1+a

，
即

-1+2x

2+a•2x

=

-2x+1

2•2x+a

，即-2-a•2^x=a+2•2^x，
解得a=-2，此時(shí)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，
由f（-x）=-f（x）得

-2-x+1

2-x+1+a

=-

-2x+1

2x+1+a

，
即-

-1+2x

2+a•2x

=

-2x+1

2•2x+a

，即2+a•2^x=a+2•2^x，
解得a=2，此時(shí)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
當(dāng)a≠±2時(shí)，f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），此時(shí)函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

-2x+1

2x+1+a

=

-2x+1

2x+1+2

=

2-(2x+1)

2(2x+1)

=

1

2x+1

-

1

2

，
∵2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
則-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?span id="5xprg8m" class="MathJye">-

1

2

，

1

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，以及函數(shù)值域的求解，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．