Question

已知拋物線C：y  2=4x的準線與x軸交于M點，F為拋物線C的焦點，過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點．
（Ⅰ）若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在這樣的k，使得拋物線C上總存在點Q（x₀，y₀）滿足QA⊥QB，若存在，求k的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（I）記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為α，由拋物線的定義知|AM|=

5

4

d，cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，即可得出．
（II）設點Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線與拋物線方程聯立可得ky²-4y+4k=0，由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，利用斜率計算公式可得k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，由于由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．化簡可得

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：（I）記A點到準線距離為d，直線l的傾斜角為α，
由拋物線的定義知|AM|=

5

4

d，
∴cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，
∴k=tanα=±

3

4

．
（2）設點Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，
由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，
k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y 2 0 4 - y 2 1 4

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，
由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．
即：

y

2 0

+y0(y1+y2)+y1y2=-16，
∴

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，
△=(

4

k

)2-80≥0，
得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范圍為[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]．

點評：本題考查了拋物線的定義及其性質、直線與拋物線相交轉化為方程聯立可得根與系數的關系及其判別式的關系、直線垂直與斜率的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．