Question

某同學(xué)在研究函數(shù)f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性質(zhì)時(shí)，受到兩點(diǎn)間距離公式的啟發(fā)，將f（x）變形為f（x）=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0+1)2

，則f（x）表示|PA|+|PB|（如左圖），則 
①f（x）的圖象是中心對(duì)稱圖形；
②f（x）的圖象是軸對(duì)稱圖形；
③函數(shù)f（x）的值域?yàn)?span id="xph2zfi" class="MathJye">[

13

，+∞)；
④函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，3）上單調(diào)遞減；
⑤方程f[f(x)]=1+

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有兩個(gè)解．
上述關(guān)于函數(shù)f（x）的描述正確的個(gè)數(shù)為（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考點(diǎn)：兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)的值域及單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的值域和單調(diào)性逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證即可作出判斷．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）的最小值為|AB|=

32+(1+1)2

=

13

，
∴函數(shù)的值域[

13

，+∞)，顯然③正確；
由函數(shù)的值域知，函數(shù)圖象不可能為中心對(duì)稱圖形，故①錯(cuò)誤；
又∵直線AB與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

3

2

，顯然有f(

3

2

-x)=f(

3

2

+x)，
∴函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=

3

2

對(duì)稱，故②正確；
由函數(shù)的幾何意義知函數(shù)在區(qū)間(-∞，

3

2

]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[

3

2

，+∞)上單調(diào)遞增，故④錯(cuò)誤；
令t=f（x），由f(t)=1+

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得t=0或t=3，由函數(shù)的值域可知不成立，∴方程無(wú)解，故⑤錯(cuò)誤，
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，涉及兩點(diǎn)間的距離公式，屬中檔題．