【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值為8,函數(shù)g(x)是h(x)=ex的反函數(shù).
(1)求函數(shù)g(f(x))的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:函數(shù)y=f(x)h(x)﹣ (x>0)恰有一個(gè)零點(diǎn)x0 , 且g(x0)<x02h(x0)﹣1 (參考數(shù)據(jù):e=2.71828…,ln2≈0.693).

【答案】
(1)解:函數(shù)g(x)是h(x)=ex的反函數(shù),

可得g(x)=lnx;

函數(shù)f(x)=x2+ax(a>0)在[﹣1,2]上的最大值為8,

只能是f(﹣1)=8或f(2)=8,

即有1﹣a=8或4+2a=8,

解得a=2(﹣7舍去),

函數(shù)g(f(x))=ln(x2+2x),

由x2+2x>0,可得x>0或x<﹣2.

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,可得

函數(shù)g(f(x))的單調(diào)增區(qū)間為(0,+∞);

單調(diào)減區(qū)間為(﹣∞,﹣2);


(2)證明:由(1)得:f(x)=x2+2x,即φ(x)=f(x)h(x)﹣ ,(x>0),

設(shè)0<x1<x2,則x1﹣x2<0,x1x2>0,∴ <0,

∵f(x)在(0,+∞)遞增且f(x)>0,

∴f(x2)>f(x1)>0,

>0,∴f(x1 <f(x2 ,

∴φ(x1)﹣φ(x2)=f(x1 ﹣f(x2 + <0,

即φ(x1)<φ(x2),∴φ(x)在(0,+∞)遞增;

∵φ( )= ﹣2> ﹣2=0,

φ( )= ﹣e< ﹣e<0,

即φ( )φ( )<0,

∴函數(shù)y=f(x)h(x)﹣ (x>0)恰有1個(gè)零點(diǎn)x0,且x0∈( , ),

∴( +2x0 =0,即 = ,

h(x0)﹣g(x0)= ﹣lnx0= ﹣lnx0

∵y= ﹣lnx在(0, )上是減函數(shù),

﹣lnx0 ﹣ln = +ln2> +0.6=1,

即g(x0)< h(x0)﹣1,

綜上,函數(shù)y=f(x)h(x)﹣ (x>0)恰有一個(gè)零點(diǎn)x0,且g(x0)<x02h(x0)﹣1.


【解析】(1)求出g(x)的解析式以及a的值,從而求出g(f(x))的解析式,求出函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間即可;(2)令φ(x)=f(x)h(x)﹣ ,(x>0),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到φ(x)在(0,+∞)遞增;從而證出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個(gè)區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

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