Question

已知函數(shù)f（x）=ax-lnx．（a為常數(shù)）
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最值；
（2）求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）試證明對(duì)任意的n∈N^*都有ln(1+

1

n

)n＜1．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=1代入求出其導(dǎo)函數(shù)，得出其在定義域上的單調(diào)性即可求出函數(shù)f（x）的最值；
（2）先求出其導(dǎo)函數(shù)f′(x)=a-

1

x

，通過(guò)討論a的取值得出函數(shù)在[1，+∞）上的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最值；
（3）先由（1）知對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，再令x=

n+1

n

代入x-1≥lnx即可證明結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x-lnx，，x∈（0，+∞）
∵f′(x)=1-

1

x

，令f'（x）=0得x=（12分）
∵當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0∴函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)
∵當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=1（4分）
（2）∵f′(x)=a-

1

x

，
若a≤0，則對(duì)任意的x∈[1，+∞）都有f'（x）＜0，∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，沒(méi)有最小值，f（x）_最大值=f（1）=a；（6分）
若a＞0，令f'（x）=0得x=

1

a

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，

1

a

＞1，當(dāng)x∈(1，

1

a

)時(shí)f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在(1，

1

a

)上為減函數(shù)
當(dāng)x∈(

1

a

，+∞)時(shí)f'（x）＞0∴函數(shù)f（x）在(

1

a

，+∞)上為增函數(shù)
∴當(dāng)x=

1

a

時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f(x)最小值=f(

1

a

)=1-ln

1

a

（8分）
當(dāng)a≥1時(shí)，

1

a

≤1在[1，+∞）恒有f'（x）≥0
∴函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=f（1）=a．（9分）
綜上得：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）上有最大值，f（x）_最大值=a；
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）有最小值，f(x)最小值=1-ln

1

a

；
當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在[1，+∞）有最小值，f（x）_最小值=a．（10分）
（3）證明：由（1）知函數(shù)f（x）=x-lnx在（0，+∞）上有最小值1
即對(duì)任意的x∈（0，+∞）都有x-lnx≥1，即x-1≥lnx，（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)“=”成立
∵n∈N^*∴

n+1

n

＞0且

n+1

n

≠1
∴

n+1

n

-1＞ln

n+1

n

?

1

n

＞ln

n+1

n

?1＞nln(1+

1

n

)?1＞ln(1+

1

n

)n
∴對(duì)任意的n∈N^*都有ln(1+

1

n

)n＜1．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值問(wèn)題，是函數(shù)和導(dǎo)數(shù)這一章最基本的知識(shí)，也是教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)．