Question

關(guān)于f（x）=4sin（2x+

π

3

）有下列命題
①y=f（x）向右平移

π

3

個(gè)單位后得到y(tǒng)=4sin2x的圖象
②y=f（x）的表達(dá)式可改寫為y=4cos（2x-

π

6

）
③由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂為π的整數(shù)倍
④y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-

π

6

，0）對(duì)稱
⑤y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=

π

12

對(duì)稱
其中正確的命題為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐個(gè)選項(xiàng)驗(yàn)證可得．

解答： 解：∵f（x）=4sin（2x+

π

3

），
∴y=f（x）向右平移

π

3

個(gè)單位后得到y(tǒng)=4sin[2（x-

π

3

）+

π

3

]的圖象，
化簡(jiǎn)可得y=4sin（2x-

π

3

），而不是y=4sin2x，故①錯(cuò)誤；
②由誘導(dǎo)公式可得y=4sin（2x+

π

3

）=4sin（2x-

π

6

+

π

2

）=4cos（2x-

π

6

），故②正確；
③可得函數(shù)的周期為

2π

2

=π，∴由f（x₁）=f（x₂）=0可得x₁-x₂為

π

2

的整數(shù)倍，故③錯(cuò)誤；
④由2x+

π

3

=kπ可得x=

kπ

2

-

π

6

，∴函數(shù)的對(duì)稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，0）k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)可得對(duì)稱中心為（-

π

6

，0），故④正確；
⑤由2x+

π

3

=kπ+

π

2

可得x=

kπ

2

+

π

12

，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為x=

kπ

2

+

π

12

，k∈Z，
當(dāng)k=0時(shí)可得對(duì)稱軸為x=

π

12

，故⑤正確．
故答案為：②④⑤

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及三角函數(shù)的對(duì)稱性和變換，屬中檔題．