Question

已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

1-2x

2x-a

是奇函數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式，并判斷f（x）的單調(diào)性（不必證明）；
（Ⅱ）解不等式f（2x）+f（1-x）＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程即可求f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性姜不等式f（2x）+f（1-x）＜0進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）∵定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

1-2x

2x-a

是奇函數(shù)．
∴f（-1）=-f（1），
即

1- 1 2

1 2 -a

=-

1-2

2-a

，整理得

1

1-2a

=

1

2-a

，
則1-2a=2-a，則a=-1，
此時(shí)f（x）=

1-2x

2x-a

=

1-2x

2x+1

，
則f（-x）=

1-2-x

2-x+1

=-

1-2x

2x+1

=-f（x），
故滿足條件，
∵f（x）=

1-2x

2x+1

=

2-(2x+1)

2x+1

=

2

2x+1

-2，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

是減函數(shù)．
（Ⅱ）∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
∴不等式f（2x）+f（1-x）＜0等價(jià)為f（2x）＜-f（1-x）=f（x-1），
∵f（x）=

1-2x

2x+1

是減函數(shù)，
∴2x＞x-1，即x＞-1，
則不等式的解集為（-1，-∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性求出a的值是解決本題的關(guān)鍵．