【題目】給定橢圓C:(
),稱(chēng)圓心在原點(diǎn)O,半徑為
的圓是橢圓C的“衛(wèi)星圓”.若橢圓C的離心率
,點(diǎn)
在C上.
(1)求橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2)點(diǎn)P是橢圓C的“衛(wèi)星圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作直線,
使得
,與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn),且
,
分別交其“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)M,N,證明:弦長(zhǎng)
為定值.
【答案】(1),
;(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】
(1)根據(jù)題意列出再結(jié)合
即可解出
,
,從而得到橢圓C的方程和其“衛(wèi)星圓”方程;
(2) 根據(jù)分類(lèi)討論,當(dāng)有一條直線斜率不存在時(shí)(不妨假設(shè)
無(wú)斜率),可知其方程為
或
,這樣可求出
;當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí),設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)
與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
,與橢圓方程聯(lián)立,由
可得
,所以線段
應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,即
,故得證.
(1)由條件可得:
解得,
所以橢圓的方程為,
衛(wèi)星圓的方程為
(2)①當(dāng),
中有一條無(wú)斜率時(shí),不妨設(shè)
無(wú)斜率,
因?yàn)?/span>與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn),則其方程為
或
,
當(dāng)方程為
時(shí),此時(shí)
與“衛(wèi)星圓”交于點(diǎn)
和
,
此時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是
或
,即
為
或
,
∴
∴線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,
∴
②當(dāng),
都有斜率時(shí),設(shè)點(diǎn)
,其中
,
設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為
,
則,
消去y得到,
∴
∴
所以,滿(mǎn)足條件的兩直線
,
垂直.
∴線段應(yīng)為“衛(wèi)星圓”的直徑,∴
綜合①②知:因?yàn)?/span>,
經(jīng)過(guò)點(diǎn)
,又分別交“衛(wèi)星圓”于點(diǎn)
,且
,
垂直,所以線段
是“衛(wèi)星圓”
的直徑,∴
為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心為
,左、右焦點(diǎn)分別為
、
,上頂點(diǎn)為
,右頂點(diǎn)為
,且
、
、
成等比數(shù)列.
(1)求橢圓的離心率;
(2)判斷的形狀,并說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線是由兩個(gè)定點(diǎn)
和點(diǎn)
的距離之積等于
的所有點(diǎn)組成的,對(duì)于曲線
,有下列四個(gè)結(jié)論:①曲線
是軸對(duì)稱(chēng)圖形;②曲線
上所有的點(diǎn)都在單位圓
內(nèi);③曲線
是中心對(duì)稱(chēng)圖形;④曲線
上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)
.其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求在區(qū)間
上的最大值;
(2)若過(guò)點(diǎn)存在3條直線與曲線
相切,求
的取值范圍;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面
為正方形,
平面
,
,點(diǎn)
分別為
的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求證:平面
;
(Ⅲ)求平面與平面
所成二面角
(銳角)的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),f′(x),g'(x)為其導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f′(x)g(x)+f(x)
g'(x)<0且g(﹣3)=0,則使得不等式f(x)
g(x)<0成立的x的取值范圍是( )
A.(﹣∞,﹣3)B.(﹣3,0)C.(0,3)D.(3,+∞)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,焦距為2c,若直線y=
(x+c)與橢圓交于M點(diǎn),且滿(mǎn)足∠MF1F2=2∠MF2F1,則橢圓的離心率是 ( )
A. B.
-1 C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在多面體中,四邊形
是正方形,平面
平面
,
.
(1)求證:平面
;
(2)在線段上是否存在點(diǎn)
,使得平面
與平面
所成的銳二面角的大小為
,若存在,求出
的值;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,,
//
,
.
(1)證明://平面BCE.
(2)設(shè)平面ABF與平面CDF所成的二面角為θ,求.
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