Question

如圖所示，扇形OAB中，∠AOB=

π

3

，半徑r=2cm，內(nèi)接矩形EFGH，它的一條邊EF在OB上，則矩形面積的最大值為

 

．

Answer 1

考點：已知三角函數(shù)模型的應用問題

專題：計算題,三角函數(shù)的求值

分析：計算PN、MN的長，從而可得面積表達式，再利用輔助角公式化簡函數(shù)，利用角的范圍，即可求得面積的最大值．

解答： 解：，扇形OAB中，∠AOB=

π

3

，半徑r=2cm，內(nèi)接矩形EFGH，它的一條邊EF在OB上，
設∠GOB=θ，θ∈（0，

π

3

）
，F(xiàn)G=HE=2sinθ，OF=2cosθ，OE=

2sinθ

tan π 3

=

2 3

3

sinθ，
矩形面積：S=HE•EF=2sinθ（OF-OE）=2sinθ（2cosθ-

2 3

3

sinθ）
=2sin2θ-

4 3

3

sin2θ
=2sin2θ-

2 3

3

(1-cos2θ)
=2sin2θ+2

3

3

cos2θ-

2 3

3

=

4 3

3

sin(2x+

π

6

)-

2 3

3

∵θ∈（0，

π

3

）
∴2θ+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

）
∴sin（2θ+

π

6

）∈（

1

2

，1]
∴2θ+

π

6

=

π

2

，即θ=

π

6

時，S的最大值為

2 3

3

．

點評：本題考查三角函數(shù)模型的應用問題，是中檔題．解題時要認真審題，注意垂徑定理、勾股定理、直角三角形的性質(zhì)的靈活運用，合理地進行等價轉化．