Question

已知函數(shù)f（x）=log₄（ax²+2x+3）．
（1）若f（x）定義域?yàn)镽，求a的取值范圍；
（2）若f（1）=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使f（x）的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意可得，ax²+2x+3＞0對(duì)任意x∈R恒成立，顯然a=0時(shí)不合題意，從而必有

a＞0 △=4-12a＜0

，由此求得a的取值范圍．
（2）因?yàn)閒（1）=1求得a=-1，這時(shí)f（x）=log₄（-x²+2x+3）．由-x²+2x+3＞0求得函數(shù)定義域?yàn)椋?1，3）．令g（x）=-x²+2x+3，求得g（x）的單調(diào)區(qū)間，即可得到f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）的最小值為0，則h（x）=ax²+2x+3應(yīng)有最小值1，根據(jù)

a＞0 3a-1 a =1

，解得a的值，從而得出結(jié)論．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）的定義域?yàn)镽，所以ax²+2x+3＞0對(duì)任意x∈R恒成立，
顯然a=0時(shí)不合題意，從而必有

a＞0 △=4-12a＜0

，解得a＞

1

3

，
即a的取值范圍是（

1

3

，+∞）．
（2）因?yàn)閒（1）=1，所以log₄（a+5）=1，因此a+5=4，a=-1，
這時(shí)f（x）=log₄（-x²+2x+3）．
由-x²+2x+3＞0得-1＜x＜3，即函數(shù)定義域?yàn)椋?1，3）．
令g（x）=-x²+2x+3．
則g（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，在（1，3）上單調(diào)遞減，
又y=log₄x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，3）．
（3）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a使f（x）的最小值為0，則h（x）=ax²+2x+3應(yīng)有最小值1，
因此應(yīng)有

a＞0 3a-1 a =1

，解得a=

1

2

．
故存在實(shí)數(shù)a=

1

2

，使f（x）的最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．