設(shè)動點(diǎn)P(x,y)(y≥0)到定點(diǎn)F(0,1)的距離比它到x軸的距離大1,記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(2)若圓心在曲線C上的動圓M過點(diǎn)A(0,2),試證明圓M與x軸必相交,且截x軸所得的弦長為定值.
分析:(1)由題意知,P的軌跡滿足拋物線的定義,故可求出拋物線的焦點(diǎn),繼而求出拋物線方程.
(2)待定系數(shù)法設(shè)出圓的方程,設(shè)出圓與x軸的兩個焦點(diǎn)E,G的坐標(biāo),再根據(jù)圓心在拋物線上,將圓心坐標(biāo)代入拋物線,利用弦長公式及韋達(dá)定理可求結(jié)論.
解答:解:(1)依題意知,動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(0,1)的距離等于P到直線y=-1的距離,
曲線C是以原點(diǎn)為頂點(diǎn),F(xiàn)(0,1)為焦點(diǎn)的拋物線
p
2
=1,∴p=2,
∴曲線C方程是x2=4y            …(5分)
(2)設(shè)圓心為M(a,b),
∵圓M過A(0,2),
∴圓的方程為 (x-a)2+(y-b)2=a2+(b-2)2
令y=0得:x2-2ax+4b-4=0
∵點(diǎn)M(a,b)在拋物線x2=4y上,
∴a2=4b,
∴△=4a2-16b+16>0
∴圓M與x軸必相交                                    …(9分)
設(shè)圓M與x軸的兩交點(diǎn)分別為E(x1,0),G(x2,0)
∵x1+x2=2a,x1x2=4b-4
∴|EG|2=(x1+x22-4x1x2=4a2-16b+16=16
∴|EG|=4
∴當(dāng)M運(yùn)動時,弦長|EG|為定值4 …(13分)
點(diǎn)評:本題考查圓與拋物線相交關(guān)系的應(yīng)用,考查了圓的定義,拋物線的定義,以及點(diǎn)的軌跡方程的求法,考查運(yùn)算求解能力,中等題.
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)圓M過A(0,2),且圓心M在曲線C上,EG是圓M在x軸上截得的弦,試探究當(dāng)M運(yùn)動時,弦長|EG|是否為定值?為什么?

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(2012•陜西三模)設(shè)動點(diǎn)P(x,y)(x≥0)到定點(diǎn)F(
1
2
,0)
的距離比到y(tǒng)軸的距離大
1
2
.記點(diǎn)P的軌跡為曲線C.
(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)設(shè)圓M過A(1,0),且圓心M在P的軌跡上,BD是圓M 在y軸的截得的弦,當(dāng)M 運(yùn)動時弦長BD是否為定值?說明理由;
(Ⅲ)過F(
1
2
,0)
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2x+y≤40
x+2y≤50
x≥0
y≥0
,則z=5x+2y的最大值是
100
100

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設(shè)動點(diǎn)P(x,y)在區(qū)域Ω:
x≥0
y≥x
x+y≤4
上,過點(diǎn)P作直線l,設(shè)直線l與區(qū)域Ω的公共部分為線段AB,則以AB為直徑的圓的面積的最大值為

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