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8．在平面直角坐標系中，過點（0，1），傾斜角為45°的直線L，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線E的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ．
（1）將曲線E化為直角坐標方程，并寫出直線L的一個參數方程；
（2）直線L與圓x2+（y-1）2=1從左到右交于C，D，直線L與E從左到右 交于A，B，求|AC|+|BD|的值．

分析 （1）由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出曲線E的直角坐標方程；由直線L過點（0，1），傾斜角為45°，能求出直線L的一個參數方程．
（2）將L的參數方程代入x2=4y中得t2-4$\sqrt{2}$t-8=0，由直線L過圓心，能求出|AC|+|BD|的值．

解答 解：（1）∵曲線E的極坐標方程為ρcos2θ=4sinθ，即ρ2cos2θ=4ρsinθ，
∴曲線E的直角坐標方程為：x2=4y，
∵直線L過點（0，1），傾斜角為45°，
∴直線L的一個參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數）.5（分）
（2）將L的參數方程代入x2=4y中得t2-4$\sqrt{2}$t-8=0，
$\left\{\begin{array}{l}{{t}_{1}+{t}_{2}=4\sqrt{2}}\\{{t}_{1}{t}_{2}=-8}\end{array}\right.$，直線L過圓心，故|AC|+|BD|=|AB|-2=|t1-t2|-2=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$-2=6．

點評 本題考查曲線的直角坐標方程、直線的參數方程的求法，考查兩線段和的求法，考查極坐標方程、直角坐標方程、參數方程的互化，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

12．已知橢圓T：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，直線l經過點P（m，0）與T相交于A、B兩點．
（1）若C（0，-$\sqrt{3}$）且|PC|=2，求證：P必為Γ的焦點；
（2）設m＞0，若點D在Γ上，且|PD|的最大值為3，求m的值；
（3）設O為坐標原點，若m=$\sqrt{3}$，直線l的一個法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，k），求△AOB面積的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

13．直線l過點P（-1，2）且與以點M（-3，-2）、N（4，0）為端點的線段恒相交，則l的斜率取值范圍是$（{-∞，-\frac{2}{5}}]∪[{2，+∞}）$．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

16．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞，|φ|＜$\frac{π}{2}$），其圖象相鄰兩個對稱中心的距離為$\frac{π}{2}$，且f（x+$\frac{π}{6}$）=f（-x），下列判斷正確的是�。ā　。�
A．函數f（x）的最小正周期為2π
B．函數f（x）的圖象關于點（$\frac{7π}{12}$，0）對稱
C．函數f（x）在[$\frac{3π}{4}$，π]上單調遞增
D．函數f（x）的圖象關于直線x=-$\frac{7π}{12}$對稱

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

3．已知函數f（x）=ax-$\frac{x}$-2lnx，對任意實數x＞0，都有f（x）=-f（$\frac{1}{x}$）成立．
（1）求函數y=f（ex）所有零點之和；
（2）對任意實數x≥1，函數f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

13．已知圓的方程是x2+y2=1，則經過圓上一點M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）的切線方程是x+y-$\sqrt{2}$=0．

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科目：高中數學 來源： 題型：選擇題

20．如圖所示，已知函數y=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x經過雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F，函數y=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{4}$x與雙曲線在第一象限交點為P，P的橫坐標為3，則雙曲線的漸近線方程為（　　）
A．x±y=0B．x±2y=0C．x±$\sqrt{3}$y=0D．2x±y=0

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科目：高中數學 來源： 題型：填空題

17．已知向量$\overrightarrow m=（{a，1，-b}），\overrightarrow n=（{b，1，1}）（{a＞0，b＞0}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$，則$\frac{1}{a}+4b$的最小值為9．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

18．在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=-2+t}\\{y=-4+t}\end{array}}\right.$（t為參數）．以原點O為極點，x軸正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=2cosθ．直線l交曲線C于A，B兩點．
（1）寫出直線l的極坐標方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）設點P的直角坐標為（-2，-4），求點P到A，B兩點的距離之積．

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