Question

若a²+2b²=3（a＞0，b＞0），則a+2b的最大值為________．

Answer 1

3
分析：把已知的等式化為橢圓的標準方程，根據標準方程變形，設出橢圓的參數方程，進而表示出a與b，把表示出的a與b代入所求的式子中，提取3后，利用兩角和的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域得到其最大值為1，即可得到所求式子的最大值．
解答：由a²+2b²=3，變形得：+=1，即+=1，
令=cosx，b=sinx，
∴a=cosx，b=sinx=sinx，
則a+2b=cosx+sinx=3（cosx+sinx）=3sin（θ+x），（其中tanθ=），
當sin（θ+x）=1時，a+2b有最大值，最大值為3．
故答案為：3
點評：此題考查了橢圓的參數方程，三角函數的恒等變形以及正弦函數的值域．把已知的等式通過化為橢圓的標準方程，進而表示出橢圓的參數方程是本題的突破點．