Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（2）證明：當(dāng)時，曲線恒在曲線的下方；

（3）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

（1）求出,求出的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出的值，可得切線斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)要使得當(dāng)時，曲線恒在曲線的下方，即需證，不妨設(shè)， 則，利用導(dǎo)數(shù)證明取得最大值即可得結(jié)果；(3)由題意可知，可得不等式可轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明的最大值小于零，從而可得結(jié)論.

（1），，

故切線方程是.

(2)要使得當(dāng)時，曲線恒在曲線的下方，

即需證，

不妨設(shè)， 則，

，

令，恒成立，^

在單調(diào)遞減，v

又時，；當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時，取得最大值，

當(dāng)時，，即，

當(dāng)時，曲線恒在曲線的下方，

(3)由題意可知，

不等式可轉(zhuǎn)化為，

構(gòu)造函數(shù)，

，

在二次函數(shù)中，開口向下，對稱軸，

且過定點(diǎn)，解得，

得(舍去），.

①當(dāng)時，即 (舍去）或，

此時當(dāng)時，； 時,；

當(dāng)時，取得最大值，

記為，

由得，

，

而，

當(dāng)時，，即在上遞減，

當(dāng)時，，即在上遞增，

在處取得最小值，

只有符合條件，此時解得 ，不合條件，舍去;

②當(dāng)時，解得，

當(dāng)時，在時取得最大值，

即當(dāng)時，恒成立，原不等式恒成立；

③當(dāng)時，解得，

當(dāng)時，，

在時取得最大值，記為，

由（2)可知的圖象與的圖象相同，

當(dāng)時，，原不等式恒成立；

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.