Question

5．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，$\overrightarrow m$=（-2a+c，b），$\overrightarrow n$=（cosB，cosC），且 $\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0．
（1）求角B的大��；
（2）若b²=ac，求$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合兩角和的正弦公式，即可求得角B的值；
（2）結(jié)合余弦定理得到△ABC為等邊三角形，問題得以解決．

解答 解：（1）$\overrightarrow m$=（-2a+c，b），$\overrightarrow n$=（cosB，cosC），且 $\overrightarrow m$•$\overrightarrow n$=0．
∴（-2a+c）cosB+bcosC=0，
∴（-2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
∴-2sinAcosB+sin（C+B）=0，
∴-2sinAcosB+sinA=0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，
∴B=60°，
（2）由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB=ac，
∴（a-c）²=0，
∴a=c，
又B=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴A=C=60°，
∴$\frac{1}{tanA}+\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$

點(diǎn)評 本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，以及三角函數(shù)的化簡和求值，考查正弦定理的運(yùn)用，以及運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．