Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）sinx+cosx，x∈（0，π）．
（Ⅰ）當(dāng)a=

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）值域；
（Ⅱ）當(dāng)a＞

π

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=

π

2

時(shí)，表示出f（x），求得f′（x），由導(dǎo)數(shù)符號(hào)可判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性可知函數(shù)的最值，從而可得值域；
（Ⅱ）分

π

2

＜a＜π，a≥π兩種情況進(jìn)行討論，在定義域內(nèi)解不等式可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=

π

2

時(shí)，f（x）=（x-

π

2

）sinx+cosx，x∈（0，π）．
f′（x）=（x-

π

2

）cosx，由f′（x）=0得x=

π

2

，
f（x），f′（x）的情況如下：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）
x- π 2	-	0	+
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	-
f（x）	↓		↓

因?yàn)閒（0）=1，f（π）=-1，
所以函數(shù)f（x）的值域?yàn)椋?1，1）．
（Ⅱ）f′（x）=（x-a）cosx，
①當(dāng)

π

2

＜a＜π時(shí)，f（x），f′（x）的情況如下

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，a）	a	（a，π）
x-a	-		-	0	+
cosx	+	0	-		-
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↓		↑		↓

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

π

2

，a），單調(diào)減區(qū)間為（0，

π

2

）和（a，π）．
②當(dāng)a≥π時(shí)，f（x），f′（x）的情況如下

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）
x-a	-		-
cosx	+	0	-
f′（x）	-	0	+
f（x）	↓		↑

所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

π

2

，π），單調(diào)減區(qū)間為（0，

π

2

）．

點(diǎn)評(píng)：該題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．