Question

如圖，AA₁，BB₁為圓柱OO₁的母線，BC是底面圓O的直徑，D，E分別是AA₁，CB₁的中點(diǎn)，DE⊥面CBB₁．
（Ⅰ）證明：DE∥面ABC；
（Ⅱ）證明：A₁B₁⊥面A₁AC；
（Ⅲ）假設(shè)這是個(gè)大容器，有條體積可以忽略不計(jì)的小魚能在容器的任意地方游弋，如果魚游到四棱錐C-ABB₁A₁內(nèi)會(huì)有被捕的危險(xiǎn)，求魚被捕的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定,幾何概型,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）由題意推導(dǎo)出四邊形AOED是平行四邊形，由此能證明DE∥平面ABC．
（Ⅱ） 由已知條件推導(dǎo)出AA₁⊥AB，AB⊥AC，由此能證明AB⊥面A₁AC，從而得到A₁B₁⊥面A₁AC．
（Ⅲ）魚被捕的概率等于四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比，由此能求出結(jié)果．

解答： （Ⅰ）證明：連結(jié)EO，OA，∵E，O分別為B₁C，BC的中點(diǎn)，∴EO∥BB₁．
又DA∥BB₁，且DA=EO=

1

2

BB1．
∴四邊形AOED是平行四邊形，
∴DE∥OA，∵DE不包含于平面ABC，OA?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（4分）
（Ⅱ） 證明：AA₁，BB₁為圓柱OO₁的母線，AB∥A₁B₁，
∵AA₁垂直于圓O所在平面，故AA₁⊥AB，
又BC是底面圓O的直徑，∴AB⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥面A₁AC，
由AB∥A₁B₁，所以A₁B₁⊥面A₁AC．…（8分）
（Ⅲ）解：魚被捕的概率等于四棱錐C-ABB₁A₁與圓柱OO₁的體積比，
由DE⊥面CBB₁，且由（Ⅰ）知DE∥OA．∴AO⊥面CBB₁，
∴AO⊥BC，∴AC=AB．
∵BC是底面圓O的直徑，得CA⊥AB，且AA₁⊥CA，
∴CA⊥面AA₁⊥AA₁B₁B，即CA為四棱錐的高．設(shè)圓柱高為h，底半徑為r，
則V_柱=πr²h，V橢=

1

3

h(

2

r)•(

2

r)=

2

3

hr2，
∴V_橢圓：V_柱=

2

3π

，即p=

2

3π

．
魚被捕的概率為

2

3π

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力；考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．