Question

已知F₁，F₂是橢圓的兩個焦點，過F₁且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，若△ABF₂是正三角形，則這個橢圓的離心率是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據△ABF₂是正三角形，且直線AB與橢圓長軸垂直，得到F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=30°．在Rt△AF₂F₁中，設|AF₁|=m，可得，所以|AF₂|=2m，用勾股定理算出|F₁F₂|=m，得到橢圓的長軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=m，所以橢圓的離心率為e==．
解答：解：∵△ABF₂是正三角形，
∴∠AF₂B=60°，
∵直線AB與橢圓長軸垂直，
∴F₂F₁是正三角形△ABF₂的高，∠AF₂F₁=×60°=30°，
Rt△AF₂F₁中，設|AF₁|=m，sin30°=，
∴|AF₂|=2m，|F₁F₂|=
因此，橢圓的長軸2a=|AF₁|+|AF₂|=3m，焦距2c=m
∴橢圓的離心率為e==．
故答案為：
點評：本題給出橢圓過焦點垂直于長軸的弦和另一焦點構成直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的基本概念和簡單幾何性質，屬于基礎題．