Question

為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)f（x）為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．
（Ⅰ）求k的值及f（x）的表達(dá)式．
（Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用f（x）達(dá)到最小，并求最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系：C（x）=，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到．建造費用為C₁（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．
（II）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)隔熱層厚度為x_cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為．
再由C（0）=8，得k=40，
因此．
而建造費用為C₁（x）=6x，
最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為

（Ⅱ），令f'（x）=0，即．
解得x=5，（舍去）．
當(dāng)0＜x＜5時，f′（x）＜0，當(dāng)5＜x＜10時，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值點，對應(yīng)的最小值為．
當(dāng)隔熱層修建5cm厚時，總費用達(dá)到最小值為70萬元．
點評：函數(shù)的實際應(yīng)用題，我們要經(jīng)過析題→建模→解�！�還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大（�。┦亲顑�(yōu)化問題中，最常見的思路之一．