Question

甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為

1

2

與

2

5

，投中得1分，投不中得0分．
（Ⅰ）甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求兩人得分之和ξ的數學期望；
（Ⅱ）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率；

Answer 1

分析：（I）根據題意寫出甲和乙投中和不能投中的概率，甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，結合變量對應的事件寫出變量的分布列和期望．
（II）甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的事件是甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球均未命中的對立事件，根據獨立重復試驗和對立事件的概率寫出結果．

解答：解：（Ⅰ）依題意，記“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，
則P（A）=

1

2

，P（B）=

2

5

，P（

A

）=

1

2

，P（

B

）=

3

5

．
甲、乙兩人得分之和ξ的可能取值為0、1、2，
則ξ概率分布為：

∴Eξ=0×

3

10

+2×

1

5

=

9

10

∴每人在罰球線各投球一次，兩人得分之和ξ的數學期望為

9

10

．
（Ⅱ）“甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中”的事件是
“甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球均未命中”的事件C的對立事件，
而P（C）=

C

0 2

(

1

2

)0(

1

2

)2×

C

2 2

(

2

5

)0(

3

5

)2=

9

100

．
∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的概率為1-P（C）=

91

100

．
即甲、乙兩人在罰球線各投球二次，這四次投球中至少一次命中的概率為

91

100

．

點評：求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大，只要注意解題格式就問題不大．