Question

【題目】設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．

Answer 1

【答案】
（1）解：若f（0）≥1，則﹣a|a|≥1 a≤﹣1
（2）解：當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴ ，

如圖所示：

當(dāng)x≤a時(shí)，f（x）=x2+2ax﹣a2，

∴ ．

綜上所述： ．

（3）解：x∈（a，+∞）時(shí)，h（x）≥1，

得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2

當(dāng)a≤﹣ 或a≥ 時(shí)，△≤0，x∈（a，+∞）；

當(dāng)﹣ ＜a＜ 時(shí)，△＞0，得：

即

進(jìn)而分2類討論：

當(dāng)﹣ ＜a＜﹣ 時(shí)，a＜ ，

此時(shí)不等式組的解集為（a， ]∪[ ，+∞）；

當(dāng)﹣ ≤x≤ 時(shí)， ＜a＜ ；

此時(shí)不等式組的解集為[ ，+∞）．

綜上可得，

當(dāng)a∈（﹣∞，﹣ ）∪（ ，+∞）時(shí)，不等式組的解集為（a，+∞）；

當(dāng)a∈（﹣ ，﹣ ）時(shí)，不等式組的解集為（a， ]∪[ ，+∞）；

當(dāng)a∈[﹣ ， ]時(shí)，不等式組的解集為[ ，+∞）

【解析】（1）f（0）≥1﹣a|a|≥1再去絕對(duì)值求a的取值范圍，（2）分x≥a和x＜a兩種情況來討論去絕對(duì)值，再對(duì)每一段分別求最小值，借助二次函數(shù)的對(duì)稱軸及單調(diào)性．最后綜合即可．（3）h（x）≥1轉(zhuǎn)化為3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因?yàn)椴坏仁降慕饧�由�?duì)應(yīng)方程的根決定，所以再對(duì)其對(duì)應(yīng)的判別式分三種情況討論求得對(duì)應(yīng)解集即可．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和解一元二次不等式是解答本題的根本，需要知道當(dāng)時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當(dāng)時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減；求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù);二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根;三求：求對(duì)應(yīng)方程的根;四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象;五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集;規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊．