Question

（2013•無為縣模擬）下列函數(shù)中，最小值為4的是（　�。�

• A．y=x+

  4

  x

• B．y=sinx+

  4

  sinx

  (0＜x＜π)
• C．y=2e^x+2e^-x
• D．y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）

Answer 1

分析：函數(shù)y=x+

4

x

的定義域是{x|x≠0}，分x＞0和x＜0兩種情況討論求解其值域，得到該函數(shù)無最小值；
由題目給出的x的范圍，求得sinx的范圍，利用基本不等式求其最小值時(shí)“=”不成立，所以函數(shù)
y=sinx+

4

sinx

取不到最小值4；
對(duì)于對(duì)數(shù)式log_ab，當(dāng)a，b中有一個(gè)大于1，另一個(gè)大于0小于1時(shí)，對(duì)數(shù)式的值為負(fù)值，所以，
函數(shù)y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）取不到正值；
函數(shù)y=2e^x+2e^-x的最小值可直接利用基本不等式求得為4．
根據(jù)以上分析即可得到正確答案．

解答：解：當(dāng)x＞0時(shí)，y=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，當(dāng)x＜0時(shí)，y=x+

4

x

=-[（-x）+（-

4

x

）]≤-2

(-x)•(- 4 x )

=-4
所以選項(xiàng)A不正確；
因?yàn)楫?dāng)0＜x＜π時(shí)，sinx∈（0，1]，
y=sinx+

4

sinx

≥2

sinx• 4 sinx

=4，當(dāng)且僅當(dāng)sinx=

4

sinx

，即sinx=2時(shí)“=”成立，而sinx顯然不等于2，
所以選項(xiàng)B不正確；
因?yàn)?＜x＜1，所以log₃x＜0，log_x3＜0，所以y=log₃x+4log_x3（0＜x＜1）取不到正值，所以，選項(xiàng)D不正確；
因?yàn)閑^x＞0，e^-x＞0，所以y=2ex+2e-x=2(ex+e-x)≥4

ex•e-x

=4，
當(dāng)且僅當(dāng)e^x=e^-x，即x=0時(shí)“=”成立，所以選項(xiàng)C正確．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用基本不等式求函數(shù)的最值，利用基本不等式求函數(shù)最值要掌握“一正、二定、三相等”原則，對(duì)于等號(hào)不能成立的，可利用函數(shù)y=x+

k

x

（k＞0）的單調(diào)性求給定區(qū)間上的最值，此題為中檔題．