Question

5．己知a∈R，函數(shù)f（x）=ax²-21nx．
（Ⅰ）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）是否存在a的值，使得方程f（x））=3有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$，x＞0，分a≤0和a＞0兩類分別求得導數(shù)的正負情況，進而可得單調(diào)性；
（Ⅱ）結合①與②可得出函數(shù)的單調(diào)性與極值；若使得方程f（x）=3有兩個不等的實數(shù)根，只要極小值小于3即可，列出不等式，求出a的范圍．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{2a{x}^{2}-2}{x}$，x＞0
①當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；
②當a＞0時，令f′（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{a}}{a}$．
當x∈（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）時，f′（x）＜0，當x∈（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞）；
（Ⅱ）存在a∈（0，e²），使得方程f（x）=3有兩個不等的實數(shù)根．
理由如下：
由①可知當a≤0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
方程f（x）=3不可能有兩個不等的實數(shù)根；                                 
由②得，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，$\frac{\sqrt{a}}{a}$）；單調(diào)增區(qū)間是（$\frac{\sqrt{a}}{a}$，+∞），
使得方程f（x）=3有兩個不等的實數(shù)根，等價于函數(shù)f（x）的極小值f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）＜3，
即f（$\frac{\sqrt{a}}{a}$）=1+lna＜3，解得0＜a＜e²，
所以a的取值范圍是（0，e²）．

點評 本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，涉及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，以及函數(shù)的零點個數(shù)問題，屬中檔題．