Question

若A_n=

.

a1a2…an

（a_i=0）或1，i=1，2，…，n，則稱A_n為0和1的一個n位排列．對于A_n，將排列

.

ana1a2，…an-1

記為R¹（A_n）；將排列

.

an-1ana1，…an-2

記為R²（A_n）；依此類推，直至Rⁿ（A_n）=A_n．對于排列A_n和R¹（A_n）（i=1，2，…n-1），它們對應(yīng)位置數(shù)字相同的個數(shù)減去對應(yīng)位置數(shù)字不同的個數(shù)，叫做A_n和R¹（A_n）的相關(guān)值，記作t（A_n，R¹（A_n））．例如A₃=

.

110

，則R¹（A₃）=

.

011

，t（A₃R¹，（A₃））=-1．若t（A_n，R¹（A_n））=-1（i=1，2，…，n-1），則稱A_n為最佳排列．  
（Ⅰ）寫出所有的最佳排列A₃

 

；   
（Ⅱ）若某個A_2k+1（k是正整數(shù)）為最佳排列，則排列A_2k+1中1的個數(shù)

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：（Ⅰ）根據(jù)已知中最佳排列的定義，可得排列A₃的三個元素中至少含有0和1各一個，進(jìn)而可寫出所有的最佳排列A₃；
（Ⅱ）若某個A_2k+1（k是正整數(shù)）為最佳排列，則排列A_2k+1中1的個數(shù)比0的個數(shù)少一，或多一，進(jìn)而根據(jù)0和1，共2k+1個，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）最佳排列A₃為：

.

110

，

.

101

，

.

100

，

011

，

.

010

，

.

001

．
（Ⅱ） A_2k+1=

.

a1a2…a2k+1

（a_i=0或1，i=1，2，…，2k+1）得
R¹（A_2k+1）=

.

a2k+1a1a2…a2k

，R²（A_2k+1）=

.

a2ka2k+1a1a2…a2k-1

，…R^2k-1（A_2k+1）=

.

a3a4… a2k+1a1a2

，R^2k（A_2k+1）=

.

a2a3… a2k+1a1

．
因?yàn)?t（A_2k+1，R¹（A_2k+1））=-1（i=1，2，…，2k），
所以 A_2k+1與每個R¹（A_2k+1）有k個對應(yīng)位置數(shù)碼相同，有k+1個對應(yīng)位置數(shù)碼不同，
因此有：|a₁-a_2k+1|+|a₂-a₁|+…+|a_2k-a_2k-1||a_2K+1-a_2k|=k+1，
|a₁-a_2k|+|a₂-a_2k+1|+…+|a_2k-a_2k-2||a_2K+1-a_2k-1|=k+1
…，
|a₁-a₃|+|a₂-a₄|+…+|a_2k-a₁||a_2K+1-a₂|=k+1，
|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_2k-a_2k+1||a_2K+1-a₁|=k+1，
以上各式求和得，S=（k+1）•2k．
另一方面，S還可以這樣求和：設(shè)a₁，a₂，…，a_2k+1中有x個0，y個1，
則S=2xy．
所以

x+y=2k+1 2xy=2k(k+1)

，
解得

x=k y=k+1

或

x=k+1 y=k

所以排列A_2k+1中1的個數(shù)是k或k+1．
故答案為：（1）

.

110

，

.

101

，

.

100

，

011

，

.

010

，

.

001

．（2）k或k+1

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是類比推理，正確理解最佳排列的概念及A_n和R¹（A_n）的相關(guān)值，是解答的關(guān)鍵．