Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知定圓F：（x-1）²+y²=1（F為圓心），定直線l：x=-2，作與圓F內(nèi)切且和直線l相切的動圓P，
（1）試求動圓圓心P的軌跡E的方程．
（2）設(shè)過定圓心F的直線m自下而上依次交軌跡E及定園F于點A、B、C、D，
①是否存在直線m，使得|AD|=2|BC|成立？若存在，請求出這條直線的方程；若不存在，請說明理由．
②當(dāng)直線m繞點F轉(zhuǎn)動時，|AB|•|CD|的值是否為定值？若是，請求出這個定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線與圓的位置關(guān)系,直線與圓錐曲線的關(guān)系

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)動圓心P（x，y），利用動圓P與定園F內(nèi)切，列出方程，然后化簡求出軌跡方程．
（2）①當(dāng)直線m的斜率存在，聯(lián)立

y2=4x y=k(x-1)

設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韋達定理求出|AD|，利用|AD|=2|BC|，求出k即可．然后求出直線方程．
②當(dāng)直線m的斜率存在時，利用①|(zhì)AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=x₁•x₂=1，說明對于任意的直線m，|AB|•|CD|=1為定值．

解答： 解：（1）設(shè)動圓心P（x，y）
因為動圓P與定園F內(nèi)切，則

(x-1)2+y2

=|x+2|-1
若x≥-2，則

(x-1)2+y2

=x+1⇒y2=4x，
若x＜-2，則

(x-1)2+y2

=-x-3⇒y2=8(x+1)，與x＜-2矛盾．
故動圓心P的軌跡是以F為焦點，x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為：y²=4x．…（4分）
（2）①當(dāng)直線m的斜率存在，由

y2=4x y=k(x-1)

⇒k2x2-(2k2+4)x+k2=0
設(shè)A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則x1+x2=2+

4

k2

，

x

1

•x2=1，∴|AD|=|AF|+|DF|=x1+1+x2+1=4+

4

k2

，而|BC|=2，
若|AD|=2|BC|，則4+

4

k2

=4，k無解，此時不存在．…（8分）
當(dāng)直線m的斜率不存在時，則|AD|=4，|BC|=2，顯然|AD|=2|BC|成立．
故存在直線m使|AD|=2|BC|成立．此時直線m：x=1．…（9分）
②當(dāng)直線m的斜率存在時，由①|(zhì)AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=x₁•x₂=1
當(dāng)直線m的斜率不存在時，|AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=（2-1）（2-1）=1．
故對于任意的直線m，|AB|•|CD|=1為定值．…（13分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．