Question

（2011•東城區(qū)二模）已知函數f（x）=x²-alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求證：f（x）在（1，+∞）上是增函數；
（Ⅱ）求f（x）在[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證函數在（1，+∞）上是增函數，只需要證明其導數大于0即可；
（Ⅱ）求導函數先研究函數的單調性，確定極值，從而確定函數的最值，分類討論是解題的關鍵．

解答：證明：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x²-2lnx，
當x∈（1，+∞）時，f′(x)=

2(x2-1)

x

＞0，
所以f（x）在（1，+∞）上是增函數．          （5分）
（Ⅱ）解：f′(x)=

2x2-a

x

(x＞0)，
當x∈[1，e]，2x²-a∈[2-a，2e²-a]．
若a≤2，則當x∈[1，e]時，f′（x）≥0，
所以f（x）在[1，e]上是增函數，
又f（1）=1，故函數f（x）在[1，e]上的最小值為1．
若a≥2e²，則當x∈[1，e]時，f′（x）≤0，
所以f（x）在[1，e]上是減函數，
又f（e）=e²-a，所以f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．
若2＜a＜2e²，則當1≤x＜

a 2

時，f′（x）＜0，此時f（x）是減函數；
當

a 2

＜x≤e時，f′（x）＞0，此時f（x）是增函數．
又f(

a 2

)=

a

2

-

a

2

ln

a

2

，
所以f（x）在[1，e]上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

．
綜上可知，當a≤2時，f（x）在[1，e]上的最小值為1；
當2＜a＜2e²時，f（x）在[1，e]上的最小值為

a

2

-

a

2

ln

a

2

；
當a≥2e²時，f（x）在[1，e]上的最小值為e²-a．（13分）

點評：本題以函數為載體，考查函數的單調性與函數的最值．利用導數研究函數的單調性比用函數單調性的定義要方便，但應注意f′（x）＞0（或f′（x）＜0）僅是f（x）在某個區(qū)間上為增函數（或減函數）的充分條件．