Question

已知a＞1，函數(shù)f（x）=log_a（x²-ax+2）在x∈[

1

2

，+∞）時的值恒為正．
（1）求a的取值范圍；
（2）若函數(shù)g（x）=log_a

x-5

x+5

，判定g（x）在x∈（-∞，-5）上的單調(diào)性，并用定義法證明．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）x²-ax+2＞1在x∈[

1

2

，+∞）時恒成立．可轉(zhuǎn)化為a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）時恒成立，由(x+

1

x

)min=

5

2

，即可求a的取值范圍；
（2）設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，-5）且x₁＞x₂，證明g（x₁）＞g（x₂）即可．

解答： 解：（1）x²-ax+2＞1在x∈[

1

2

，+∞）時恒成立．即a＜x+

1

x

在x∈[2，+∞）時恒成立．
又函數(shù)x+

1

x

在[

1

2

，+∞）上是增函數(shù)，
所以(x+

1

x

)min=

5

2

，
從而1＜a＜

5

2

．
（2）函數(shù)g（x）=log_a

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為增函數(shù)．
證明：設(shè)任意的x₁，x₂∈（-∞，-5）且x₁＞x₂，
g（x₁）-g（x₂）=log_a

x1-5

x1+5

-log_a

x2-5

x2+5

=log_a

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

∴-5＞x₁＞x₂∴0＞x₁+5＞x₂+5，-10＞x₁-5＞x₂-5，x₁-x₂＞0
∴

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

-1=

10(x1-x2)

(x1+5)(x2-5)

＞0
∴

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

＞1，
又∵1＜a＜

5

2

∴l(xiāng)og_a

(x1-5)(x2+5)

(x1+5)(x2-5)

＞0
∴g（x₁）＞g（x₂）
故函數(shù)g（x）=log

5

2

x-5

x+5

在（-∞，-5）上為增函數(shù)．

點評：本題主要考察了對數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義法證明，學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．