【題目】已知橢圓的離心率為為其左、右頂點(diǎn)，為橢圓上除外任意一點(diǎn)，若記直線的斜率分別為

（1）求證:為定值；

（2）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，，若恰好為與橢圓相交的弦的中點(diǎn)，設(shè)為與橢圓相交的弦的中點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先設(shè)，，，得到，.再計(jì)算即可.

（2）首先根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點(diǎn)差法可求出的斜率，因?yàn)?/span>，可求出的直線方程，再把和橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)之間距離公式即可求出線段的長(zhǎng).

（1）由題意，，設(shè)，

則，.

又在橢圓上，所以，

所以.

所以為定值.

因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓方程為.

設(shè)與橢圓交點(diǎn)為，與橢圓交點(diǎn)為，

則，兩式相減得:

因?yàn)?/span>，，

所以

所以，即，

因?yàn)?/span>，所以.

所以直線的方程為:，即.

由，消去得.

所以，所以，.

即與橢圓相交的弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

.

即線段的長(zhǎng)為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移（）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，且函數(shù)的最大值為2．

（ⅰ）求函數(shù)的解析式； （ⅱ）證明：存在無窮多個(gè)互不相同的正整數(shù)，使得．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足：，，其中．

（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)的和；

（2）若，．

①求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

②記數(shù)列的前項(xiàng)的和為，若無窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)全國互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，得到整個(gè)互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)者年齡分布餅狀圖，90后從事互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)崗位分布條形圖，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之間出生，80前指1979年及以前出生.

A.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)從業(yè)人員中90后占一半以上

B.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)超過總?cè)藬?shù)的

C.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事運(yùn)營崗位的人數(shù)90后比80前多

D.互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)中從事技術(shù)崗位的人數(shù)90后比80后多

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C：的離心率為，左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)M是橢圓C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)P．

（Ⅰ）若點(diǎn)P在橢圓C的內(nèi)部，求直線AM的斜率的取值范圍；

（Ⅱ）設(shè)橢圓C的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)Q在y軸上，且∠PFQ=90°，求證：AQ∥BM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)作傾斜角為的直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，將曲線上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到曲線，直線與曲線交于不同的兩點(diǎn).

（1）求直線的參數(shù)方程和曲線的普通方程；

（2）求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】同程旅游隨機(jī)調(diào)查了年齡在（單位：歲）內(nèi)的1250人的購票情況，其中50歲以下（不包含50歲）的有900人，50歲以上（包含50歲）的有350人，由調(diào)查數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，有的人參與網(wǎng)上購票，網(wǎng)上購票人數(shù)的頻率分布直方圖如下圖所示.

（1）已知年齡在，，的網(wǎng)上購票人數(shù)成等差數(shù)列，求的值；

（2）根據(jù)題目數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，并根據(jù)填寫數(shù)據(jù)判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為網(wǎng)上購票與年齡有關(guān)系？

50歲以下

50歲以上

總計(jì)

參與網(wǎng)上購票

不參與網(wǎng)上購票

總計(jì)

附：

0.010

0.005

0.001

6.635

7.879

10.828

（3）為鼓勵(lì)大家網(wǎng)上購票，該平臺(tái)常采用購票就發(fā)放酒店入住代金券的方法進(jìn)行促銷，具體做法如下：年齡在歲的每人發(fā)放20元，其余年齡段的每人發(fā)放50元，先按發(fā)放代金券的金額采用分層抽樣的方式從參與調(diào)查的1000位網(wǎng)上購票者中抽取10人，并在這10人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行回訪調(diào)查，求此3人獲得代金券的金額總和的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線的方程為.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求直線l和曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）曲線分別交直線l和曲線于點(diǎn)A，B，求的最大值及相應(yīng)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．

（1）為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，求點(diǎn)的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)在曲線上，求面積的最大值．

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