【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足:,,其中.
(1)若,求數(shù)列的前項(xiàng)的和;
(2)若,.
①求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
②記數(shù)列的前項(xiàng)的和為,若無窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)(2)①②
【解析】
(1)當(dāng),,求和時(shí)相鄰兩項(xiàng)組合得,然后再分組,利用等差、等比數(shù)列的前項(xiàng)和的公式求和.
(2)①當(dāng),時(shí),由條件可得,即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列,分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別求通項(xiàng)公式可得答案.
②由①可求出,由可得,則可以得到,再討論當(dāng)時(shí),成立,所以,時(shí)可用反證法說明不成立.
解:(1)當(dāng)時(shí),,記數(shù)列的前項(xiàng)的和為;
(2)①當(dāng),時(shí),由,所以
,
所以
所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別成公差為4的等差數(shù)列,
所以,
所以;
②由①可知
設(shè)等比數(shù)列的公比為,
因?yàn)闊o窮項(xiàng)等比數(shù)列始終滿足,
所以當(dāng)時(shí),,所以,
所以,
由,所以
當(dāng)時(shí),成立,所以;
當(dāng)時(shí),下證對任意不恒成立,
要證,即證
先證,從而得到,即
下證對任意的不恒成立,
令,所以要證對任意的不恒成立,
所以存在,當(dāng)時(shí),
所以對任意的不恒成立.
所以當(dāng)時(shí),對任意不恒成立,
所以,所以.
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)處,極軸與軸的正半軸重合,且長度單位相同;曲線 的方程是,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),設(shè), 直線與曲線交于 兩點(diǎn).
(1)當(dāng)時(shí),求的長度;
(2)求的取值范圍.
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(1)寫出曲線C1,C2的極坐標(biāo)方程;
(2)在極坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A是射線l:與C1的交點(diǎn),點(diǎn)B是l與C2的異于極點(diǎn)的交點(diǎn),當(dāng)在區(qū)間上變化時(shí),求的最大值.
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【題目】設(shè)f(x)=xex﹣ax2﹣2ax.
(Ⅰ)若y=f(x)的圖象在x=﹣1處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),求a的值;
(Ⅱ)若f(x)存在極大值,且極大值小于0,求a的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的離心率為為其左、右頂點(diǎn),為橢圓上除外任意一點(diǎn),若記直線的斜率分別為
(1)求證:為定值;
(2)若橢圓的長軸長為,過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線,,若恰好為與橢圓相交的弦的中點(diǎn),設(shè)為與橢圓相交的弦的中點(diǎn),求線段的長.
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【題目】已知函數(shù),若方程有四個(gè)不等實(shí)根,時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的最小值為()
A. B. C. D.
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