Question

11．（1）如果實數(shù)x，y滿足（x-2）²+y²=3，求$\frac{y}{x}$的最大值和最小值
（2）已知實數(shù)x，y滿足方程x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$，求$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）$\frac{y}{x}$的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，求出直線y=kx與圓相切時，k的值，即可確定斜率k取最大值或最小值；
（2）$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$表示圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（2，3）的距離PA，PA的最大及最小值的點(diǎn)都在CA直線與圓的交點(diǎn)上，最大為CA+r，最小為CA-r．

解答 解：（1）原方程表示以（2，0）為圓心，$\sqrt{3}$為半徑的圓，$\frac{y}{x}$的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，
設(shè)$\frac{y}{x}$=k，即y=kx
當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，∴k=±$\sqrt{3}$，
∴$\frac{y}{x}$的最大值為$\sqrt{3}$，最小值為-$\sqrt{3}$；
（2）方程x²+（y-1）²=$\frac{1}{4}$為以C（0，1）為圓心，半徑為$\frac{1}{2}$的圓，
$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$表示圓上的點(diǎn)P到點(diǎn)A（2，3）的距離PA
因為CA=2$\sqrt{2}$，所以PA的最大及最小值的點(diǎn)都在CA直線與圓的交點(diǎn)上，最大為CA+r=2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$，最小為CA-r=2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，∴$\sqrt{（x-2）^{2}+（y-3）^{2}}$的取值范圍是[2$\sqrt{2}$-$\frac{1}{2}$，2$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$]．

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，解題的關(guān)鍵理解所求表達(dá)式的幾何意義，屬于中檔題．