Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n之間滿足2a_n=S_nS_n-1（n≥2）．
（1）求證{

1

Sn

}是等差數(shù)列，并求公差；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1，兩邊同時(shí)除以S_nS_n-1，得2（(

1

Sn-1

-

1

Sn

)=1，由此知{

1

Sn

}是等差數(shù)列，公差d=-

1

2

．
（2）由題設(shè)知

1

Sn

=

1

3

+(n-1)×(-

1

2

)=

1

2

n+

5

6

，故Sn=

6

3n+5

．由此能導(dǎo)出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答：解：（1）∵2a_n=S_nS_n-1（n≥2）∴2（S_n-S_n-1）=S_nS_n-1
兩邊同時(shí)除以S_nS_n-1，得2(

1

Sn-1

-

1

Sn

)=1
∴

1

Sn

-

1

Sn-1

=-

1

2

∴{

1

Sn

}是等差數(shù)列，公差d=-

1

2

（2）∵

1

S1

=

1

a1

=

1

3

∴

1

Sn

=

1

3

+(n-1)×(-

1

2

)=-

1

2

n+

5

6

=

5-3n

6

∴Sn=

6

5-3n

當(dāng)n≥2時(shí)，an=

1

2

SnSn-1=

1

2

×

6

5-3n

×

6

8-3n

=

18

(5-3n)(8-3n)

∴an=

3 ，n=1 18 (8-3n)(5-3n) ，n≥2

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運(yùn)用．