Question

7．已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+1=2a_n+1．
（1）求證：數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{n（n+1）{2^n}}}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）遞推式兩邊同時加1即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出a_n+1，從而得出a_n；
（3）使用裂項法求和，判定T_n的單調(diào)性得出范圍．

解答 （1）證明：∵a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴數(shù)列{a_n+1}是等比數(shù)列．
（2）解：由（1）及已知{a_n+1}是等比數(shù)列，公比q=2，首項為a₁+1=2，
∴a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴${a_n}={2^n}-1$．
（3）解：${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{n（n+1）{2^n}}}=\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴${T_n}=（{\frac{1}{1}-\frac{1}{2}}）+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}}）+…+（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$=$1-\frac{1}{n+1}$＜1，
設(shè)f（n）=1-$\frac{1}{n+1}$，則f（n）是增函數(shù)，
∴當(dāng)n=1時，f（n）取得最小值f（1）=$\frac{1}{2}$．
∴T_n的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）．

點評 本題考查了等比數(shù)列的判斷，等比數(shù)列的求和公式，裂項法求和，屬于中檔題．