Question

已知焦點在x軸上的橢圓C過點（0，1），且離心率為，Q為橢圓C的左頂點。
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）已知過點（，0）的直線l與橢圓C交于A，B兩點。
（�。┤糁本�了l垂直于x軸，求∠AQB的大小；
（ⅱ）若直線l與x軸不垂直，是否存在直線l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，求出直線l的方程；如果不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓C的標準方程為，
且，
由題意可知：，
所以，
所以，橢圓C的標準方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得Q（-2，0），
設，
（�。┊斨本�l垂直于x軸時，直線l的方程為，
由
解得：或
即（不妨設點A在x軸上方），
則直線AQ的斜率，直線BQ的斜率，
因為，
所以，
所以；
（ⅱ）當直線l與x軸不垂直時，由題意可設直線AB的方程為，
由消去y得：，
因為點在橢圓C的內部，顯然，

因為，
所以



所以，
所以為直角三角形，
假設存在直線l使得△QAB為等腰三角形，則，
取AB的中點M，連接QM，則，
記點為N，
另一方面，點M的橫坐標，
所以點M的縱坐標，
所以

所以與不垂直，矛盾，
所以當直線l與x軸不垂直時，不存在直線l使得△QAB為等腰三角形。