【題目】如圖，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)D是側(cè)棱上的一點(diǎn).

（1）證明：當(dāng)點(diǎn)D是的中點(diǎn)時(shí)，平面BCD；

（2）若二面角的余弦值為求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

(1)分別證明與即可.

(2) 以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線CA,CB,為x軸,y軸,z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),利用二面角的余弦值為求得,再利用空間向量求解二面角的方法求解二面角的余弦值即可.

（1）平面ABC,平面ABC

又,平面,平面

平面

,

平面DCB,平面DCB

平面DCB

（2）

以為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以射線CA,CB,為x軸,y軸,z軸的非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè),,,,

,

設(shè)為平面的法向量,則,

設(shè)則有,.此時(shí)

是平面的法向量,則

,

因?yàn)?/span>是平面的法向量,則

則二面角的余弦值是

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓O的直徑）．規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q，并修建兩段直線型道路PB、QA．規(guī)劃要求:線段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑．已知點(diǎn)A、B到直線l的距離分別為AC和BD（C、D為垂足），測(cè)得AB=10，AC=6，BD=12（單位:百米）．

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長(zhǎng)；

（2）在規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處？并說(shuō)明理由；

（3）對(duì)規(guī)劃要求下，若道路PB和QA的長(zhǎng)度均為d（單位：百米）.求當(dāng)d最小時(shí)，P、Q兩點(diǎn)間的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某高校進(jìn)行自主招生測(cè)試，報(bào)考學(xué)生有500人，其中男生300人，女生200人，為了研究學(xué)生的成績(jī)是否與性別有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們測(cè)試的分?jǐn)?shù)，然后按性別分為男、女兩組，再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成4組：，，，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖可以估計(jì)女生測(cè)試成績(jī)的平均值為103.5，請(qǐng)你估計(jì)男生測(cè)試成績(jī)的平均值，由此推斷男、女生測(cè)試成績(jī)的平均水平的高低；

（Ⅱ）若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于110分的學(xué)生為“優(yōu)秀生”，請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“優(yōu)秀生與性別有關(guān)”？

優(yōu)秀生

非優(yōu)秀生

合計(jì)

男生

女生

合計(jì)

參考公式：，.

參考數(shù)據(jù)：

P（）

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】三國(guó)時(shí)代吳國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文，弦圖是一個(gè)以勾股形之弦為邊的正方形，其面積稱(chēng)為弦實(shí).圖中包含四個(gè)全等的勾股形及一個(gè)小正方形，分別涂成紅（朱）色及黃色，其面積稱(chēng)為朱實(shí)、黃實(shí)，利用，化簡(jiǎn)，得.設(shè)勾股形中勾股比為，若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘（大小忽略不計(jì)），則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為（ ）

A. B. C. D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為3的疋方形，側(cè)面與底面垂直，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，且滿(mǎn)足，點(diǎn)在棱上，

（1）當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）當(dāng)取何值時(shí)，二面角的正弦值為.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在上存在一點(diǎn)，使得成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】甲、乙兩班舉行數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，參賽學(xué)生的競(jìng)賽得分統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：

班級(jí)

參賽人數(shù)

平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

方差

甲

45

83

86

85

82

乙

45

83

84

85

133

某同學(xué)分析上表后得到如下結(jié)論：

①甲、乙兩班學(xué)生的平均成績(jī)相同；

②乙班優(yōu)秀的人數(shù)少于甲班優(yōu)秀的人數(shù)（競(jìng)賽得分分為優(yōu)秀）；

③甲、乙兩班成績(jī)?yōu)?/span>85分的學(xué)生人數(shù)比成績(jī)?yōu)槠渌档膶W(xué)生人數(shù)多；

④乙班成績(jī)波動(dòng)比甲班小.

其中正確結(jié)論有（ ）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓柱底面半徑為1，高為，是圓柱的一個(gè)軸截面，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)，其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，邊與曲線相交于點(diǎn).

（1）求曲線的長(zhǎng)度；

（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為9x﹣y+b＝0，求實(shí)數(shù)a，b的值；

（2）若a≤0，求f（x）的單調(diào)減區(qū)間；

（3）對(duì)一切實(shí)數(shù)a∈（0，1），求f（x）的極小值的最大值．

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