【題目】如圖,一個(gè)湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線(xiàn)型公路l,湖上有橋ABAB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個(gè)點(diǎn)P、Q,并修建兩段直線(xiàn)型道路PB、QA.規(guī)劃要求:線(xiàn)段PB、QA上的所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.已知點(diǎn)AB到直線(xiàn)l的距離分別為ACBDC、D為垂足),測(cè)得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).

1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長(zhǎng);

2)在規(guī)劃要求下,PQ中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處?并說(shuō)明理由;

3)對(duì)規(guī)劃要求下,若道路PBQA的長(zhǎng)度均為d(單位:百米).求當(dāng)d最小時(shí),P、Q兩點(diǎn)間的距離.

【答案】(1)15(百米);

(2)見(jiàn)解析;

(3)17+(百米).

【解析】

解:解法一:

1)過(guò)A,垂足為E.利用幾何關(guān)系即可求得道路PB的長(zhǎng);

2)分類(lèi)討論PQ中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

3)先討論點(diǎn)P的位置,然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí),P、Q兩點(diǎn)間的距離.

解法二:

1)建立空間直角坐標(biāo)系,分別確定點(diǎn)P和點(diǎn)B的坐標(biāo),然后利用兩點(diǎn)之間距離公式可得道路PB的長(zhǎng);

2)分類(lèi)討論PQ中能否有一個(gè)點(diǎn)選在D處即可.

3)先討論點(diǎn)P的位置,然后再討論點(diǎn)Q的位置即可確定當(dāng)d最小時(shí),PQ兩點(diǎn)間的距離.

解法一:

1)過(guò)A,垂足為E.

由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.

因?yàn)?/span>PBAB,

所以.

所以.

因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).

2)①若PD處,由(1)可得E在圓上,則線(xiàn)段BE上的點(diǎn)(除B,E)到點(diǎn)O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若QD處,連結(jié)AD,由(1)知,

從而,所以∠BAD為銳角.

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此,Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

綜上,PQ均不能選在D.

3)先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)FOFOB,即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)l上一點(diǎn),且,由(1)知,,

此時(shí);

當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在中,.

由上可知,d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時(shí),.此時(shí),線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上,當(dāng)PBAB,點(diǎn)Q位于點(diǎn)C右側(cè),且CQ=時(shí),d最小,此時(shí)P,Q兩點(diǎn)間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.

因此,d最小時(shí),P,Q兩點(diǎn)間的距離為17+(百米).

解法二:

1)如圖,過(guò)OOHl,垂足為H.

O為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(xiàn)OHy軸,建立平面直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>BD=12,AC=6,所以OH=9,直線(xiàn)l的方程為y=9,點(diǎn)A,B的縱坐標(biāo)分別為3,3.

因?yàn)?/span>AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.

從而A43),B4,3),直線(xiàn)AB的斜率為.

因?yàn)?/span>PBAB,所以直線(xiàn)PB的斜率為

直線(xiàn)PB的方程為.

所以P13,9),.

因此道路PB的長(zhǎng)為15(百米).

2)①若PD處,取線(xiàn)段BD上一點(diǎn)E4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

②若QD處,連結(jié)AD,由(1)知D4,9),又A4,3),

所以線(xiàn)段AD.

在線(xiàn)段AD上取點(diǎn)M3,),因?yàn)?/span>,

所以線(xiàn)段AD上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑.

因此Q選在D處也不滿(mǎn)足規(guī)劃要求.

綜上,PQ均不能選在D.

3)先討論點(diǎn)P的位置.

當(dāng)∠OBP<90°時(shí),線(xiàn)段PB上存在點(diǎn)到點(diǎn)O的距離小于圓O的半徑,點(diǎn)P不符合規(guī)劃要求;

當(dāng)∠OBP≥90°時(shí),對(duì)線(xiàn)段PB上任意一點(diǎn)FOFOB,即線(xiàn)段PB上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑,點(diǎn)P符合規(guī)劃要求.

設(shè)l上一點(diǎn),且,由(1)知,,此時(shí);

當(dāng)∠OBP>90°時(shí),在中,.

由上可知,d≥15.

再討論點(diǎn)Q的位置.

由(2)知,要使得QA≥15,點(diǎn)Q只有位于點(diǎn)C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.

當(dāng)QA=15時(shí),設(shè)Qa9),由

a=,所以Q,9),此時(shí),線(xiàn)段QA上所有點(diǎn)到點(diǎn)O的距離均不小于圓O的半徑.

綜上,當(dāng)P139),Q,9)時(shí),d最小,此時(shí)PQ兩點(diǎn)間的距離

.

因此,d最小時(shí),PQ兩點(diǎn)間的距離為(百米).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2019年,我國(guó)施行個(gè)人所得稅專(zhuān)項(xiàng)附加扣除辦法,涉及子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息或者住房租金、贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除.某單位老、中、青員工分別有人,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該單位上述員工中抽取人調(diào)查專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的享受情況.

(Ⅰ)應(yīng)從老、中、青員工中分別抽取多少人?

(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少兩項(xiàng)專(zhuān)項(xiàng)附加扣除的員工有6人,分別記為.享受情況如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪(fǎng).

員工

項(xiàng)目

A

B

C

D

E

F

子女教育

×

×

繼續(xù)教育

×

×

×

大病醫(yī)療

×

×

×

×

×

住房貸款利息

×

×

住房租金

×

×

×

×

×

贍養(yǎng)老人

×

×

×

(i)試用所給字母列舉出所有可能的抽取結(jié)果;

(ii)設(shè)為事件“抽取的2人享受的專(zhuān)項(xiàng)附加扣除至少有一項(xiàng)相同”,求事件發(fā)生的概率.

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(1)求的值及拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)求的最小值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】已知拋物線(xiàn)Cx2=2py經(jīng)過(guò)點(diǎn)(21).

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F21,0).過(guò)F2x軸的垂線(xiàn)l,在x軸的上方,l與圓F2:交于點(diǎn)A,與橢圓C交于點(diǎn)D.連結(jié)AF1并延長(zhǎng)交圓F2于點(diǎn)B,連結(jié)BF2交橢圓C于點(diǎn)E,連結(jié)DF1.已知DF1=

1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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(2)若等比數(shù)列階“期待數(shù)列”,求公比及數(shù)列的通項(xiàng)公式;

(3)若一個(gè)等差數(shù)列既是()階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列,求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.

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Ⅰ)證明:平面EAB⊥平面PAC

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線(xiàn)C:x2=6y與直線(xiàn)l:y=kx+3交于M,N兩點(diǎn).

(1)設(shè)M,N到y(tǒng)軸的距離分別為d1,d2,證明:d1d2為定值.

(2)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?若存在,求以線(xiàn)段OP為直徑的圓的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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