Question

4．已知函數(shù)f（x）=2^x+m2^1-x．
（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，0）對(duì)稱(chēng)，若存在，求實(shí)數(shù)a的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
注：點(diǎn)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）的中點(diǎn)坐標(biāo)為（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，f（0）=0，解得實(shí)數(shù)m的值；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
解法一：f（x₁）-f（x₂）＜0對(duì)任意滿足1＜x₁＜x₂恒成立，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
解法二：f′（x）≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，則有有f（x₁）+f（2a-x₁）=0恒成立，則有：2^2a+2m=0，進(jìn)而可得滿足條件的答案．

解答 解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集R
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)
故f（-x）=-f（x），
所以f（0）=1+2m=0，即m=-$\frac{1}{2}$，
此時(shí)f（x）=2^x-2^-x．
函數(shù)為奇函數(shù)滿足題意
故m=-$\frac{1}{2}$；  …（2分）
（2）解法一：
任取設(shè)1＜x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=（${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ ）-（${2}^{{x}_{2}}+m{2}^{{1-x}_{2}}$ ）…（4分）
=（${2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}-{2m}^{\;}}{{2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}}$）＜0對(duì)任意滿足1＜x₁＜x₂恒成立   …（6分）
因?yàn)?{2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}}$＜0，且${2}^{{x}_{1+{x}_{2}}}＞4$，
故2m≤4，即m≤2；…（8分）
解法二：若函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，
則f′（x）=ln2•2^x-ln2•m2^1-x≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，…（4分）
即m≤2^2x-1在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，…（6分）
令y=2^2x-1，則在區(qū)間（1，+∞）上y＞2^2-1=2恒成立，
故m≤2；  …（8分）
（3）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)a
在函數(shù)f（x）圖象上任取一點(diǎn)M（x₁，y₁），關(guān)于A（a，0）對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N（x₂，y₂）
則$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=a，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=0，
即x₂=2a-x₁，y₂=-y₁，
即有f（x₁）+f（2a-x₁）=0恒成立                …（10分）
（注：沒(méi)有推導(dǎo)過(guò)程的，只有結(jié)論的不給分）
即（${2}^{{x}_{1}}+{m2}^{{1-x}_{1}}$ ）+${2}^{{2a-x}_{1}}+{m2}^{{1-（2a-x}_{1}）}$=0，
化簡(jiǎn)得：（2^2a+2m）（$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$）=0        …（12分）
∵$\frac{{2}^{{x}_{1}}}{{2}^{2a}}$+${2}^{-{x}_{1}}$＞0恒成立，
故有：2^2a+2m=0，
當(dāng)m≥0時(shí)，方程無(wú)解，故不存在
當(dāng)m＜0時(shí)，a=$\frac{1}{2}{log}_{2}（-2m）$，…（14分）
綜上所述：①當(dāng)m≥0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，0）對(duì)稱(chēng)
②當(dāng)m＜0時(shí)，存在實(shí)數(shù)a=$\frac{1}{2}{log}_{2}（-2m）$，使得得函數(shù)f（x）圖象關(guān)于點(diǎn)A（a，0）對(duì)稱(chēng)．…（16分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的恒成立，難度較大．