已知向量
a
=(cos2x，sin2x)，
b
=(
3
，-1)，設(shè)f(x)=
a
•
b
．
（Ⅰ） 求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ） 若銳角α滿足f（α）=1，求tan2α的值．
分析：（I）由題意，可先由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出f（x）的三角表示式，并將其化簡(jiǎn)，根據(jù)化簡(jiǎn)后的解析式求它的最值，利用周期公式求周期即可；
（Ⅱ）由題意，可根據(jù)f（α）=1得出cos（2α+
π
6
）=
1
2
，再判斷出角2α+
π
6
的范圍從而利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出tan（2α+
π
6
）的值，再由正切的和角公式將其展開即可得到tan2α的
方程，解此方程求出tan2α的值
解答：解：由題意向量
a
=(cos2x，sin2x)，
b
=(
3
，-1)，f(x)=
a
•
b
．
∴f(x)=
a
•
b
=
3
cos2x-sin2x=2cos（2x+
π
6
）
（1）由上求解知，函數(shù)的最大值是2，最小正周期是
2π
2
=π
（2）∵銳角α滿足f（α）=1
∴2cos（2α+
π
6
）=1即cos（2α+
π
6
）=
1
2

由于銳角α，可得2α+
π
6
是銳角，由此得sin（2α+
π
6
）=
3
2

∴tan（2α+
π
6
）=
3

∴
tan2α+
3
3
1-
3
3
tan2α
=
3
，
解得tan2α=
3
3
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的余弦公式，兩角和的正切公式，解題的關(guān)鍵是利用三角公式建立tan2α的方程，通過(guò)解方程解出tan2α的值，本題考查了方程的思想，方程思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法，求值的題都要將題設(shè)中等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程求解，本題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(-cosα，1+sinα)，
b
=(2sin2
α
2
，sinα)．
（Ⅰ）若|
a
+
b
|=
3
，求sin2α的值；
（Ⅱ）設(shè)
c
=(cosα，2)，求(
a
+
c
)•
b
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosωx-sinωx，sinωx)，
b
=(-cosωx-sinωx，2
3
cosωx)，其中ω＞0，且函數(shù)f(x)=
a
•
b
+λ（λ為常數(shù)）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的圖象的對(duì)稱軸；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
π
4
，0)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，
5π
12
]上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos
θ
2
，sin
θ
2
)，
b
=(2，1)，且
a
⊥
b
．
（1）求tanθ的值；
（2 ）求
cos2θ
2
cos(
π
4
+θ)•sinθ
的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cos(ωx-
π
6
)，  sin(ωx-
π
4
))，  
b
=(sin(
2
3
π-ωx)， sin(ωx+
π
4
))（其中ω＞0）．若函數(shù)f(x)=2
a
•
b
-1的圖象相鄰對(duì)稱軸間距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-
π
12
，  
π
2
]上的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知向量
a
=(cosθ，sinθ)，
b=
(cos2θ-1，sin2θ)，
c
=(cos2θ，sin2θ-
3
)．其中θ≠kπ，k∈Z．
（1）求證：
a
⊥
b
；
（2）設(shè)f(θ)=
a
•
c
，且θ∈(0，π)，求f(θ)的值域．

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