Question

18．（1）已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，求${C}_{10}^{x-1}$的值；
（2）若（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ（n∈N）的展開(kāi)式中第3項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，求n．

Answer 1

分析 （1）由已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，可得3x-2=x+1 或3x-2+（x+1）=15，求得x的值，可得 ${C}_{10}^{x-1}$ 的值．
（2）根據(jù)（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ 的展開(kāi)式中第3項(xiàng)為${C}_{n}^{2}$•${x}^{\frac{n-8}{3}}$，為常數(shù)項(xiàng)，可得$\frac{n-8}{3}$=0，由此求得n的值．

解答 解：（1）：由已知${C}_{15}^{3x-2}$=${C}_{15}^{x+1}$，可得3x-2=x+1 或3x-2+（x+1）=15，求得x=4．
∴${C}_{10}^{x-1}$=${C}_{10}^{3}$=120．
（2）由于（$\root{3}{x}$-$\frac{1}{x}$）ⁿ 的展開(kāi)式中第3項(xiàng)為T(mén)₃=${C}_{n}^{2}$•${x}^{\frac{n-8}{3}}$ 為常數(shù)項(xiàng)，可得$\frac{n-8}{3}$=0，
求得n=8．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，屬于基礎(chǔ)題．