Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，且其圖象在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)6x+2y+5=0平行．
（1）求f（x）的解析式（含字母c）；
（2）求函數(shù)的極大值與極小值的差．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，可知x=2為y′=0的根，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義有k=y′|_x=1，列出關(guān)于a，b的方程組，求解可得到y(tǒng)的解析式； 
（2）根據(jù)（1）可得y′=0的根，再結(jié)合單調(diào)性，即可得到函數(shù)的極大值與極小值，從而求得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函數(shù)y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當(dāng)x=2時(shí)，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數(shù)圖象在x=1處的切線(xiàn)與直線(xiàn)6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯(lián)立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，．
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函數(shù)在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+∞）上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在x=0時(shí)取得極大值c，在x=2時(shí)取得極小值c-4，
∴函數(shù)的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，求函數(shù)極值的步驟是：先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，求出方程的根，確定函數(shù)在方程的根左右的單調(diào)性，根據(jù)極值的定義，確定極值點(diǎn)和極值．