Question

已知函數(shù)y=f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，求f（x）的極大值和極小值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專(zhuān)題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(2x-a)(3x-a)，由f′(x)=0得x=

a

2

，x=

a

3

，由此列表討論能求出f（x）的極大值和極小值．

解答： 解：∵y=f（x）=16x³-20ax²+8a²x-a³，其中a≠0，
∴f′(x)=48x2-40ax+8a2=8(2x-a)(3x-a)，由f′(x)=0得x=

a

2

，x=

a

3

，
①當(dāng)a＞0時(shí)，

a

3

＜

a

2

，見(jiàn)下表

x	(-∞， a 3 )	a 3	( a 3 ， a 2 )	a 2	( a 2 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大	減函數(shù)	極小	增函數(shù)

∴當(dāng)x=

a

3

時(shí)，函數(shù)取得極大值，f(

a

3

)=

a3

27

，
 當(dāng)x=

a

2

時(shí)，函數(shù)取得極小值，f(

a

2

)=0．
②當(dāng)a＜0時(shí)，

a

2

＜

a

3

，見(jiàn)下表

x	(-∞， a 2 )	a 2	( a 2 ， a 3 )	a 3	( a 3 ，∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大	減函數(shù)	極小	增函數(shù)

當(dāng)x=

a

2

時(shí)，函數(shù)取得極大值，f(

a

2

)=0，
當(dāng)x=

a

3

時(shí)，函數(shù)取得極小值，f(

a

3

)=

a3

27

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基本知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力及化歸思想、函數(shù)方程思想、分類(lèi)討論思想的合理運(yùn)用，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．