Question

求證:分別和兩條異面直線AB、CD同時(shí)相交的兩條直線AC、BD是異面直線.

Answer 1

思路分析:證明兩直線是異面直線的常用方法是反證法和判定定理.

證法一:假設(shè)AC和BD不是異面直線,則AC和BD在同一平面內(nèi),設(shè)這個(gè)平面為α.

由ACα,CDα知A、B、C、D∈α,故ABα,CDα,這與AB和CD是異面直線矛盾,于是假設(shè)不成立,故直線AC和BD是異面直線.

證法二:因?yàn)橹本�AB、AC相交于點(diǎn)A,所以它們確定一個(gè)平面為α,如圖2-1-11所示,由直線AB和CD是異面直線知Dα,即直線BD過(guò)平面α外一點(diǎn)D與平面α內(nèi)一點(diǎn)B,又

圖2-1-11

ACα,BAC,故直線AC和BD是異面直線.

  綠色通道:用反證法證明兩條直線異面的一般步驟是:(1)反設(shè):假設(shè)結(jié)論不成立,則它的反面成立;(2)歸繆:由已知條件出發(fā),結(jié)合定理、公理、定義等進(jìn)行正確的推理,推導(dǎo)出與已知條件、定理、公理、定義相矛盾的結(jié)論或推出自相矛盾的結(jié)論;(3)結(jié)論:由矛盾否定假設(shè),從而肯定原結(jié)論的正確性.

    反證法是證明兩直線異面的常用方法,否定結(jié)論后如果產(chǎn)生了多種情況,應(yīng)由這多種情況都推出矛盾;如果只產(chǎn)生一種(或可合并為一種)情況,直接推出矛盾即可.