Question

6．已知函數f（x）=klnx-x²，k∈R．
（Ⅰ）若f（x）在（0，1]上是增函數，求k的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數f（x）的零點個數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，根據函數的單調性求出k的范圍即可；
（Ⅱ）法一：通過討論k的范圍，集合函數的單調性求出函數的零點個數即可；法二：根據函數的單調性畫出圖象，判斷函數的零點個數即可．

解答 解：（Ⅰ）由題意得f′（x）≥0在（0，1]上恒成立…（1分）
∵f′（x）=$\frac{k}{x}$-2x且x∈（0，1]，
∴f′（x）≥0?k≥2x² …（2分）
∵y=2x²在（0，1]上遞增，
∴（2x²）_max=2，…（3分）
∴k的取值范圍是[2，+∞）…（4分）
（Ⅱ）解法1：（1）當k=0時，f（x）=-x²（x＞0）沒有零點；…（5分）
（2）當k≠0時，f′（x）=$\frac{k-{2x}^{2}}{x}$（x＞0）…（6分）
∴k＜0時，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上單調遞減，
且x→0且x＞0時，f（x）→+∞；x→+∞時，f（x）→-∞，因此f（x）有一個零點；…（7分）
又k＞0時有

x	（0，$\sqrt{\frac{k}{2}}$）	$\sqrt{\frac{k}{2}}$	（$\sqrt{\frac{k}{2}}$，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	遞增	極大值$\frac{1}{2e}$	遞減

x→+∞時，f（x）→-∞；x→0且x＞0時，f（x）→-∞；
f（x）_max=f（$\sqrt{\frac{k}{2}}$）=$\frac{k}{2}$（ln$\frac{k}{2}$-1）…（9分）
∴l(xiāng)n$\frac{k}{2}$=1即k=2e時，f（x）有1個零點；
ln$\frac{k}{2}$＜1即0＜k＜2e時，f（x）無零點；
ln$\frac{k}{2}$＞1即k＞2e時，f（x）有2個零點，…（11分）
綜上所述，
當k∈[0，2e）時，函數f（x）沒有零點；
當k=2e或k∈（-∞，0）時，函數f（x）有一個零點；
當k∈（2e，+∞）時，函數f（x）有兩個零點…（12分）
解法2：當k=0時，f（x）=-x²（x＞0）沒有零點；…（5分）
當k≠0時方程f（x）=0⇒$\frac{1}{k}$=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0）…（6分）
設φ（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$（x＞0），則φ′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$…（7分）
則有

x	（0，$\sqrt{e}$）	$\sqrt{e}$	（$\sqrt{e}$，+∞）
φ′（x）	+	0	-
φ（x）	遞增	極大值$\frac{1}{2e}$	遞減

而x→0且x＞0時，φ（x）→-∞；x→+∞且x＞0時，φ（x）→0且φ（x）＞0…（8分）
…（9分）
由圖可知：
當$\frac{1}{k}$＞$\frac{1}{2e}$，即k∈（0，2e）時，y=$\frac{1}{k}$與y=f（x）圖象沒有公共點；
當$\frac{1}{k}$=$\frac{1}{2e}$或$\frac{1}{k}$＜0，即k=2e或k∈（-∞，0）時，y=$\frac{1}{k}$與y=k（x）圖象有一個公共點；
當0＜$\frac{1}{k}$＜$\frac{1}{2e}$，即k∈（2e，+∞）時，y=$\frac{1}{k}$與y=k（x）圖象有兩個公共點…（11分）
綜上所述，
當k∈[0，2e）時，函數f（x）沒有零點；
當k=2e或k∈（-∞，0）時，函數f（x）有一個零點；
當k∈（2e，+∞）時，函數f（x）有兩個零點．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想、轉化思想，是一道中檔題．