Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是下底面對角線AC和BD的交點，求證：
（1）B₁O∥平面A₁DC₁
（2）平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連結(jié)DO₁，由已知條件推導(dǎo)出DOB₁O₁是平行四邊形，由此能證明B₁O∥面A₁DC₁．      
（2）由已知得DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面B₁D₁BD，由此能證明平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．

解答： （本題14分）
證明：（1）設(shè)A₁C₁∩B₁D₁=O₁，連結(jié)DO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方體，
∴B₁BDD₁是平行四邊形，
∴B₁D₁∥BD且B₁D₁=BD…（3分）
又O₁，O分別是B₁D₁，BD的中點，
∴O₁B₁∥DO且O₁B₁=DO，∴DOB₁O₁是平行四邊形…（5分）
∴B₁O∥DO₁，DO₁?面A₁DC₁，B₁O?面A₁DC₁，
∴B₁O∥面A₁DC₁．…（8分）      
（2）∵DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁…（10分）
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴A₁C₁⊥面B₁D₁BD…（12分）
又A₁C₁?平面A₁DC₁，
∴平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．…（14分）

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．