Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（Ⅰ）求證：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）當(dāng)PD=

2

AB且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大�。�
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求二面角A-PB-D的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）利用面面垂直的判定定理即可證明平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）根據(jù)直線和平面所成角的定義即可求AE與平面PDB所成的角的大小．
（Ⅲ）利用面積法，求二面角的大小．

解答： （Ⅰ）證明：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，
∵PD∩BD=D，∴AC⊥平面PBD，
∵AC?平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）解：設(shè)AC∩BD=0，連結(jié)OE，
由（Ⅰ）知AC⊥平面PBD于O，
∴∠AEO為AE與平面PDB所成的角，
∵O，E分別為DB，PB的中點(diǎn)，∴OE∥PD，OE=

1

2

PD，
又∵PD⊥底面ABCD，
∴OE⊥平面ABCD，CE⊥AO，
則Rt△AOE中，OE=

1

2

PD=

2

2

AB=A0，
∴∠AOE=45°，即AE與平面PDB所成的角的大小為45°．
（Ⅲ）解：∵AC⊥平面PBD，∴△ABD為△ABD在平面PDB內(nèi)的射影圖形，
二面角A-PB-D的余弦值
∴cosθ=

S△OBP

S△ABP

=

1 2 × 2 2 × 2

1 2 ×1× 3

=

3

3

，
則二面角A-PB-D的正弦值sinθ=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查平面和平面垂直的判定，以及空間二面角和線面角的求解，考查學(xué)生的推理能力．