【題目】已知,
.
(1)當(dāng)時(shí),求
在
處的切線方程;
(2)當(dāng)時(shí),若對任意的
,都存在
,使得
成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)將代入,可得函數(shù)解析式,再代入
可得切點(diǎn)坐標(biāo);求得導(dǎo)函數(shù),并由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線斜率,進(jìn)而得切線方程.
(2)將所給方程變形可得;可得
在
內(nèi)的單調(diào)性,進(jìn)而求得值域,即可求得
的值域;構(gòu)造函數(shù)
,求得
,由定義域及
分類討論
的單調(diào)情況,并求得最值即可求得符合題意的
的取值范圍.
(1)當(dāng)時(shí),
,
;所以切點(diǎn)坐標(biāo)為
,
而,
所以;
∴切線方程為.
化簡可得.
(2),所以
,
對于,在
上單調(diào)遞減,
上單調(diào)遞增,
∴時(shí),
,
或2時(shí),
,
∴當(dāng)時(shí),
.
令,
對任意的,都存在
,
成立,
所以的值域是
的子集,
,
①時(shí),
在
上單調(diào)遞增,
∴,
,解得
.
②時(shí),
在
上單調(diào)遞減,
上單調(diào)遞增,
∵,
恒成立,
下面證明恒成立.
令,
,解得
.
∴在
上單調(diào)遞增,
恒成立,
∴.
③時(shí),
在
單調(diào)遞減,
∴,
,
解得.
綜上所述.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),設(shè)直線
的極坐標(biāo)方程為
.
(1)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程,并指出其曲線是什么曲線;
(2)設(shè)直線與
軸的交點(diǎn)為
為曲線
上一動點(diǎn),求
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市居民自來水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水不超過4噸時(shí),每噸為1.80元,當(dāng)用水超過4噸時(shí),超過部分每噸3.00元,某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù);
(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水費(fèi).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知(
是實(shí)數(shù),方程
有兩個(gè)實(shí)根
,數(shù)列
滿足
(
).
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式(用
表示);
(2)若,求
的前
項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知從境外回國的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染,需要通過核酸檢測是否呈陽性來確定是否被感染.下面是兩種檢測方案:
方案一:逐個(gè)檢測,直到能確定被感染者為止.
方案二:將8位同胞平均分為2組,將每組成員的核酸混合在一起后隨機(jī)抽取一組進(jìn)行檢測,若檢測呈陽性,則表明被感染者在這4位當(dāng)中,然后逐個(gè)檢測,直到確定被感染者為止;若檢測呈陰性,則在另外一組中逐個(gè)進(jìn)行檢測,直到確定被感染者為止.
(1)根據(jù)方案一,求檢測次數(shù)不多于兩次的概率;
(2)若每次核酸檢測費(fèi)用都是100元,設(shè)方案二所需檢測費(fèi)用為,求
的分布列與數(shù)學(xué)期望
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】判斷下列命題是否正確,請說明理由:
(1)若向量 與
同向,且
,則
;
(2)若向,則
與
的長度相等且方向相同或相反;
(3)對于任意向量,若
與
的方向相同,則
=
;
(4)由于 方向不確定,故
不與任意向量平行;
(5)向量 與
平行,則向量
與
方向相同或相反.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,直線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,橢圓
的極坐標(biāo)方程為
,其左焦點(diǎn)
在直線
上.
(1)若直線與橢圓
交于
兩點(diǎn),求
的值;
(2)求橢圓的內(nèi)接矩形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中,平面
平面
,底面
為梯形,
,
且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)求二面角B-PD-C的余弦值;
(Ⅲ)若M是棱PA的中點(diǎn),求證:對于棱BC上任意一點(diǎn)F,MF與PC都不平行.
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