【題目】如圖,在直三棱柱中, 分別為、的中點, .

(1)求證: 平面;

(2)求三棱錐的體積.

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析:1設(shè)為邊的中點,連接, ,, 分別為, 的中點,根據(jù)三角形中位線定理以及題設(shè)條件可證明四邊形為平行四邊形,可得,從而根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論;(2先證明平面,從而可得三角形的面積為,三角形的面積為,利用等積變換可得 .

試題解析(1)設(shè)為邊的中點,連接,

, 分別為, 的中點,

, ,

又∵ ,

,

∴ 四邊形為平行四邊形.

,

平面 平面,

平面

(2)在直三棱柱中,

,

平面, 平面,

平面,

,可得三角形的面積為,三角形的面積為,

由(1)平面知: 到平面的距離等于到平面的距離

.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、利用等積變換求三棱錐體積,屬于難題.證明線面平行的常用方法:①利用線面平行的判定定理,使用這個定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線,可利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質(zhì),即兩平面平行,在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面. 本題(1)是就是利用方法①證明的.

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1討論的單調(diào)性;

(2)當時, ,求的取值范圍.

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