Question

已知雙曲線

x2

3

-

y2

b2

=1（b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，其一條漸近線方程為y=

2

x，點(diǎn)P在該雙曲線上，且

PF1

•

PF2

=8，則S△PF1F2=（　�。�

• A、4
• B、4

  6

• C、8
• D、2

  21

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：先求出b，c，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，PF₁，PF₂的夾角為α，則mncosα=8，利用余弦定理，計(jì)算mn=20，可得cosα，求出sinα，利用S△PF1F2=

1

2

mnsinα，即可得出結(jié)論．

解答： 解：∵雙曲線

x2

3

-

y2

b2

=1（b＞0）的一條漸近線方程為y=

2

x，
∴

b

3

=

2

，
∴b=

6

，
∴c=3，
設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，PF₁，PF₂的夾角為α，則mncosα=8，
∴36=m²+n²-2mncosα，
∴m²+n²=52，
∵|m-n|=2

3

，
∴mn=20，
∴cosα=

2

5

，
∴sinα=

21

5

，
∴S△PF1F2=

1

2

mnsinα=

1

2

×20×

21

5

=2

21

．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查余弦定理，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，求出mn的值是關(guān)鍵．