Question

20．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，且△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$，試求sinC和a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角形內(nèi)角和定理可得$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．由正弦定理可得a²+c²-b²=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，結(jié)合范圍B∈（0，π）可得B的值．
（Ⅱ）由cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，利用sinC=sin（A+B）可求sinC的值，利用三角形面積公式可求ab=6，①，又由正弦定理，比例性質(zhì)可求3a=2b，②聯(lián)立即可得解a的值．

解答 （本題滿分14分）
解：（Ⅰ）∵$\frac{a+b}{sin（A+B）}$=$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$．
∴由正弦定理可得：$\frac{a+b}{c}=\frac{a-c}{a-b}$，整理可得：a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴由B∈（0，π），可得：B=$\frac{π}{3}$．…..（6分）
（Ⅱ）∵cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
∴可得：sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$．
∵△ABC的面積為$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×ab×$$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$，可解得：ab=6，①
又∵$\frac{a}=\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，整理可得：3a=2b，②
∴由①②解得：a=2．…（14分）

點(diǎn)評 本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，比例性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題．